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Sabtu, 17 Oktober 2009

Teoria BCS I Mais detalhes

Teoria BCS

A Teoria BCS foi proposta por John Bardeen, Leon Cooper, e John Robert Schrieffer e explica o fenômeno da supercondutividade.

Afirma principalmente que os elétrons em um material quando no estado supercondutor se agrupam em pares chamados pares de Cooper. Os pares de Cooper são elétrons condensados em estados de menor energia. Esta formação de pares de Cooper depende da microestrutura do material, da forma da rede cristalina, já que este par de elétrons se move de forma acoplada com a rede.

Independentemente e ao mesmo tempo, este fenômeno de supercondutividade foi explicado por Nikolay Bogoliubov por meio das então chamadas transformações de Bogoliubov.

Em muitos supercondutores, a interação atrativa entre elétrons (necessariamente aos pares) é conduzida aproximada e indiretamente pela interação entre os elétrons e a estrutura do cristal em vibração (os fônons).

Um elétron que move-se através de um condutor atrairá cargas positivas próximas na estrutura. Esta deformação da estrutura faz com que um outro elétron, com “spin” oposto, mova-se na região de uma densidade de carga positiva mais elevada. Os dois elétrons são mantidos unidos então com alguma energia de ligação. Se esta energia de ligação é mais elevada do que a energia fornecida por impulsos dos átomos de oscilação no condutor (o que é verdadeiro a baixas temperaturas), então os pares de elétrons manter-se juntos e resistirão aos impulsos, não experimentando resistência.

A teoria BCS foi desenvolvida em 1957 por John Bardeen, Leon Cooper, e Robert Schrieffer e eles receberam o Prêmio Nobel de Física em 1972 por esta teoria.

Em 1986, a "supercondutividade a alta temperatura" foi descoberta (i.e. supercondutividade a temperaturas consideravelmente acima do limite prévio de aproximadamente 30 K; acima de aproximadamente 130 K). Acredita-se que nestas temperaturas outros efeitos estão em jogo; estes efeitos não são ainda inteiramente compreendidos. (É possível que estes efeitos desconhecidos igualmente controlam a supercondutividade mesmo em baixas temperaturas para alguns materiais).

Mais detalhes

A teoria BCS inicia da suposição que existe alguma atração entre elétrons, a qualpode suplantar a repulsão de Coulomb. Na maioria dos materiais (em supercondutores a baixa temperatura), esta atração é conduzida aproximadamente de maneira indireta pelo acoplamento dos elétrons à estrutura cristalina(como explicado acima). Entretanto, os resultados da teoria BCS não depende da origem da interação atrativa. Os resultados originais da BCS (discutidos abaixo) descrevem um estado supercondutor onda s, o qual é a regra entre supercondutores de baixa temperatura mas não é realizada em muitos "supercondutores não convencionais", como supercondutores de alta temperatura "onda d". As extensões da teoria de BCS existem para descrever estes outros casos, embora sejam insuficientes para descrever completamente as características observadas da supercondutividade de alta temperatura.

BCS é hábil para dar uma aproximação para o estado mecânico quântico do sistema de elétrons (atrativamente interagindo) dentro do metal. Este estado é sabido agora como de "o estado BCS". No estado normal de um metal, os elétrons movem-se independente, visto que no estado BCS, são ligados em "pares de Cooper" pela interações atrativas.

BCS derivou diversas predições teóricas importantes que são independente dos detalhes da interação, desde que as predições quantitativas mencionadas abaixo prendem para toda a atração suficientemente fraca entre os elétrons e esta última circunstância é cumprido para muitos supercondutores da baixa temperatura - do "o exemplo assim chamado fraco-acoplamento". Estes foram confirmados em numerosos experimentos:

  • Desde que os elétrons são limitados em pares de Cooper, uma quantidade finita de energia é necessário quebrar distante estes em dois elétrons independentes. Isto significa que há de "uma abertura (janela) de energia" para a "excitação de partícula única", ao contrário no metal normal (onde o estado de um elétron pode ser mudado adicionando arbitrariamente uma pequena quantidade de energia). Esta abertura de energia é mais alta a baixa temperatura mas desaparece na temperatura de transição quando supercondutividade cessa de existir. A teoria BCS corretamente prediz a variação desta abertura com temperatura. Igualmente dá uma expressão que mostra como a abertura cresce com a força da interação atrativa e a (fase normal) da partícula única densidade dos estados na energia de Fermi. Além disso, descreve como a densidade dos estados é mudada em incorporar o estado supercondutor, onde não há qualquer estado eletrônico na energia de Fermi. A abertura de energia é observada o mais diretamente em experiências de tunelamento e na reflexão das microondas de supercondutor.
source: wikipedia
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BCS-theorie I Geschiedenis I Achtergrond I Technisch

BCS-theorie

BCS-theorie is een microscopische theorie voor het beschrijven van het fenomeen supergeleiding. De theorie werd voorgesteld begin jaren '50, door de fysici Bardeen, Cooper, and Schrieffer. Het achterliggende mechanisme wat in deze theorie aanleiding geeft tot supergeleiding, is het vormen van elektronenparen, zogeheten Cooperparen. Deze gepaarde elektronen zijn bosonen, en kunnen dus vervolgens een Bose-Einsteincondensaat vormen.


Geschiedenis

Hoewel de ontdekking van supergeleiding reeds in 1911 plaats had, met name door de Nederlandse fysicus Kamerlingh Onnes, heeft het erg lang geduurd voor fysici een goede beschrijving van dit intrigerende fenomeen konden geven. Mede vertraagd door de Wereldoorlogen, zou het duren tot de jaren '50 voordat echte vordering werd gemaakt in het begrijpen van dit kwantummechanisch fenomeen. De eerste echte vooruitgang werd gemaakt door de fysicus Fritz London, welke de naar hem genoemde Londonvergelijkingen opstelde. In 1955 slaagde John Bardeen er in om het Meissner-effect beschrijven, een typisch effect in supergeleiders. Een jaar later kon tot slot Leon Neil Cooper, voortbouwend op het werk van Bardeen, aantonen dat elektronen onder bepaalde speciale omstandigheden (voldoende lage temperatuur) gebonden paren kunnen vormen, en zo aanleiding geven tot supergeleiding.

In 1957 bundelden Bardeen, Cooper en Schrieffer hun ideeën in een theorie, de zogeheten BCS theory. Hiervoor, en voor werk dat daar op volgde, ontvingen ze in 1972 de Nobelprijs voor de Natuurkunde.

Achtergrond

De elektronen van een metaal zijn fermionen, en bovendien geladen. Dat wil zeggen dat elektronen niet in dezelfe kwantumtoestand kunnen zitten, en onderlinge elektrostatische afstoting ondervinden. In BCS-theorie wordt beschreven hoe in speciale omstandigheden (o.a. lage temperatuur) deze kracht kan overwonnen vormen, en dus elektronen gebonden paren vormen. Aangezien een paar fermionen een boson vormt, kunnen al deze paren bovendien in dezelfde kwantumtoestand zitten, een fenomeen dat men Bose-Einstein condensatie noemt. Deze paren hebben verder de bijzondere eigenschap dat ze geen kleine energie-pakketjes kunnen absorberen. (Er is immers een minimale hoeveelheid energie nodig om een Cooperpaar te breken.) Als men dus een potentiaalverschil oplegt, zullen deze paren bewegen (= elektrische stroom), zonder energie te verliezen aan wrijving (door botsingen met het metaalrooster). Dat wil dus precies zeggen dat er supergeleiding optreedt: het vloeien van stroom zonder weerstand.

Uiteraard is er een bepaalde energie, boven dewelke de Cooperparen wel zullen breken. Als de stroom te hoog is, of de temperatuur te hoog, of als er een te groot extern magnetisch veld opgelegd wordt, zal supergeleiding ophouden, en zal er weer normale geleiding optreden.

Technisch

BCS-theorie beschrijft interacties tussen elektronen en fononen in een rooster. De aantrekkende interactie tussen elektronen in de supergeleidende toestand wordt effectief tot stand gebracht door de tweede orde interactie tussen elektronen, via een virtueel fonon. Er bestaan ook intuïtieve verklaringen voor de aantrekkingskracht in termen van interacties met het rooster via fonenen.

Andere theorieën voor supergeleiding

Voor de opmars van BCS-theorie, in 1950, was er ook door Landau-Ginzburg een theorie voor supergeleiding voorgesteld. Ook kon de fysicus Nikolay Bogoliubov gelijktijdig een verklaring voor supergeleiding geven, met behulp van de zogeheten Bogoliubov-transformaties.

Successen en tekortkomingen van BCS-theorie

BCS-theorie slaagt er met succes in verschillende fenomenen en eigenschappen van supergeleiders te verklaren. Onder meer het verband tussen de energie E nodig om een Cooperpaar te breken, en de kritische temperatuur Tc onder de welke een materiaal supergeleidend wordt. Deze verhouding is 3.5, onafhankelijk van het materiaal in kwestie. Ook voorspelt de theorie correct het Meissner-effect, i.e. de uitstoting van een extern magnetisch veld uit de supergeleider. Deze bijzondere eigenschap van supergeleiders werd eerder al experimenteel ontdekt door Walther Meissner en Robert Ochsenfeld in 1933, en was dus onmisbaar voor een goede theorie van supergeleiding. Tot slot slaagt de theorie er ook in om te verklaren dat er een kritische waarde is van het externe magneetveld, waarbij supergeleiding kan bestaan in een materiaal. Boven die waarde worden de Cooperparen gebroken, en treedt er weer gewone geleiding op.

Hoewel BCS-theorie dus een groot succesverhaal is in het begrijpen en beschrijven van supergeleiding, blijkt dat niet elke supergeleider kan beschreven worden met deze theorie. In 1986 werd het fenomeen "hoge-temperatuur supergeleiding" ontdekt. Dit betreft materialen, welke supergeleidend blijven tot temperaturen boven 30 K. Dat in tegenstelling tot was BCS-theorie voorspelt. Dat wijst er dus op dat deze materialen (ook wel onconventionele supergeleiders genoemd dus onmogelijk vallen te beschrijven Het ontwikkelen van een goede theorie van onconventionele supergeleiders is een onopgelost probleem en grote uitdaging voor hedendaags onderzoek in de fysica.

source: wikipedia

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Théorie BCS I Origine de l'attraction entre les électrons I Conséquence de l'existence d'une interaction attractive

La théorie BCS est une théorie complète de la supraconductivité qui fut proposée en 1957 par John Bardeen, Leon Neil Cooper, et John Robert Schrieffer. Elle explique la supraconductivité par la formation de paires d'électrons (paires de Cooper) sous l'effet d'une interaction attractive entre électrons résultant de l'échange de phonons. Pour leur travail, ces auteurs obtinrent le prix Nobel de physique en 1972.

Origine de l'attraction entre les électrons

Il est possible de comprendre l'origine de l'attraction entre les électrons grâce à un argument qualitatif simple. Dans un métal, les électrons chargés négativement exercent une attraction sur les ions positifs qui se trouvent dans leur voisinage. Ces ions étant beaucoup plus lourds que les électrons, ils ont une plus grande inertie. Pour cette raison, lorsqu'un électron est passé près d'un ensemble d'ions positifs, ces ions ne reviennent pas immédiatement à leur position d'équilibre d'origine. Il en résulte un excès de charges positives à l'endroit où cet électron est passé. Un second électron sentira donc une force attractive résultant de cet excès de charges positives. Bien évidemment, les électrons et les ions doivent être décrits par la mécanique quantique, en tenant compte de l'indiscernabilité des électrons, et cet argument qualitatif est justifié par des calculs plus rigoureux. Le traitement théorique complet utilise les méthodes de la seconde quantification, et se base sur le Hamiltonien de Frohlich:

H=\sum_{k,\sigma} \epsilon(k) c^\dagger_{k,\sigma} c_{k,\sigma} + \sum_q \hbar \omega_q b^\dagger_q b_q + \frac{1}{\sqrt{\omega}} \sum_{k,q,\sigma} g(k,q) [c^\dagger_{k+q,\sigma} b_q c_{k,\sigma} + c^\dagger_{k+q,\sigma} b^\dagger_{-q} c_{k,\sigma}]

où ck,σ est un opérateur d'annihilation pour un électron de spin σ, et de quasi-impulsion k, bq est l'opérateur d'annihilation d'un phonon de quasi-impulsion q, c^\dagger_{k,\sigma} et b^\dagger_q sont les opérateurs de création correspondants, et g(k,q) est l'élément de matrice du couplage électron-phonon. Ce terme décrit l'émission ou l'absorption de phonons par les électrons. Dans ces processus, la quasi-impulsion est conservée.

Au moyen d'une transformation canonique, on peut éliminer l'interaction électron-phonon du Hamiltonien de Frohlich pour obtenir une interaction effective entre les électrons. Une approche alternative consiste à utiliser la théorie de perturbation au second ordre dans le couplage électron phonon. Dans cette approche, un électron émet un phonon virtuel qui est aussitôt absorbé par un autre électron. Ce processus est la version quantique de l'argument qualitatif semi-classique du début du paragraphe. On trouve un élément de matrice pour l'interaction entre les électrons de la forme:

\langle k-q,k'+q\mid V_{eff.}\mid k,k'\rangle = \frac{2 \mid g(k,q)\mid^2 \hbar \omega_q}{(\epsilon(k)-\epsilon(k+q))^2-(\hbar\omega_q)^2}

Cet élément de matrice est en général positif, ce qui correspond à une interaction répulsive, mais pour \mid \epsilon(k)-\epsilon(k+q)\mid <\hbar \omega_q ce terme devient négatif ce qui correspond à une interaction attractive. Ces interactions attractives créées par échange de bosons virtuels ne sont pas limitées à la physique de la matière condensée. Un autre exemple est l'interaction attractive entre nucléons dans les noyaux atomiques par échange de mésons prédite par Hideki Yukawa.

Conséquence de l'existence d'une interaction attractive

Leon N. Cooper a prédit en considérant deux électrons en présence d'une mer de Fermi inerte et possédant une interaction attractive faible, que quelle que soit la force de cette interaction ces deux particules formeraient un état lié, appelé paire de Cooper. Ce résultat n'est pas trivial, car il est connu en mécanique quantique, qu'en trois dimensions, pour deux particules isolées, une interaction attractive trop faible ne permet pas la formation d'états liés (voir Landau et Lifchitz t.3). La présence de la mer de Fermi, qui interdit aux deux particules d'occuper les niveaux d'énergie inférieure à l'énergie de Fermi est l'élément qui permet l'existence de l'état lié pour une interaction faible. L'énergie de cet état lié s'annule avec la force de l'attraction avec une singularité essentielle, ce qui indique que l'état lié ne peut pas s'obtenir par une théorie de perturbation dans l'interaction électron-électron.

Le calcul de Cooper est critiquable en ce sens qu'il ne considère que deux électrons et suppose que les autres électrons qui sont sous la surface de Fermi échappent à l'effet de l'interaction. La théorie BCS lève cette objection en traitant tous les électrons sur un pied d'égalité. Le Hamiltonien de la théorie BCS s'écrit en seconde quantification:

H=\sum_{k,\sigma} \epsilon(k) c^\dagger_{k,\sigma} c_{k,\sigma} -\frac{g}{\Omega} \sum_{k,k',q\atop \sigma,\sigma'} c^\dagger_{k+q,\sigma} c^\dagger_{k-q,\sigma'} c_{k,\sigma'}c_{k,\sigma}

Bardeen, Cooper et Schrieffer ont introduit une fonction d'onde variationnelle pour décrire l'état fondamental de ce Hamiltonien de la forme:

\mid \Psi\rangle =\prod_k (u_k + v_k c^\dagger_{k,\uparrow} c^\dagger_{-k,\downarrow}) \mid 0 \rangle .

Cette fonction d'onde variationnelle décrit la création de paires de Cooper par l'opérateur c^\dagger_{k,\uparrow} c^\dagger_{-k,\downarrow}. Une paire de Cooper est donc formée de deux électrons de spin opposés et de quasi-impulsions opposées. Plus généralement, une paire de Cooper est formée de deux électrons dans des états reliés l'un à l'autre par renversement du temps. Cette propriété permet de comprendre l'existence de l'effet Meissner dans un supraconducteur. En effet, en présence d'un champ magnétique, la dégénérescence entre états reliés par renversement du temps est levée ce qui réduit l'énergie de liaison des paires de Cooper. Pour garder l'énergie libre gagnée en formant les paires de Cooper, il est avantageux lorsque le champ magnétique est suffisamment faible de l'expulser du supraconducteur. Au delà d'un certain champ magnétique, il est plus avantageux de détruire la supraconductivité soit localement (supraconducteurs de type II) ou globalement (supraconducteurs de type I).

La fonction d'onde de BCS présente une certaine analogie avec les fonctions d'onde d'états cohérents de l'oscillateur harmonique et plus généralement les fonctions d'onde d'états cohérents bosoniques. Cette analogie indique en particulier que dans l'état fondamental du Hamiltonien de BCS la quantité: \langle c^\dagger_{k,\uparrow} c^\dagger_{-k,\downarrow}\rangle \ne 0. Cette propriété est la signature d'un ordre non-diagonal à longue distance. Cet ordre non-diagonal est lié à la brisure de la symétrie de jauge U(1). En effet, si on change les phases des opérateurs de création, (ce qui est une symétrie du Hamiltonien BCS), on change la valeur moyenne du paramètre d'ordre. La fonction d'onde BCS qui a une symétrie plus basse que le Hamiltonien BCS décrit donc une brisure spontanée de symétrie de jauge. Dans la théorie de Ginzburg-Landau, le paramètre d'ordre ψ qui décrit l'état supraconducteur est proportionnel à \langle c^\dagger_{k,\uparrow} c^\dagger_{-k,\downarrow}\rangle comme l'a montré L. P. Gor'kov par des méthodes de fonctions de Green.

Une méthode plus simple a été introduite par Bogoliubov et Valatin pour étudier le Hamiltonien BCS. Elle se base sur l'introduction de nouvelles particules par la transformation de Bogoliubov. P. W. Anderson a aussi introduit une méthode utilisant des opérateurs de pseudospins. Enfin, il est possible de reformuler la théorie BCS à l'aide de fonctions de Green et de diagrammes de Feynman.

Thermodynamique d'un supraconducteur selon la théorie BCS

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Conséquences de la théorie BCS

  • Effet isotopique
  • Pic de cohérence dans le taux de relaxation 1 / T1 en résonance magnétique nucléaire (Hebel et Slichter).
  • Observation du gap supraconducteur par effet tunnel (Giaever).

Théorie de Bogoliubov-de Gennes

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Théorie d'Eliashberg

Dans certains matériaux tels que le plomb, il n'est pas possible de traiter l'interaction électron-phonon par la théorie des perturbations. Une théorie plus complète de la supraconductivité prenant en compte le couplage électron-phonon est nécessaire. Cette théorie a été développée par Eliashberg.

Applications à l'hélium 3

Dans l'hélium 3, une transition superfluide a été observée dans les années 1970 par Douglas Osheroff, Robert C. Richardson et David M. Lee.
Comme l'hélium 3 est formé de fermions (alors que l'hélium 4 est formé de bosons), cette transition de phase ne peut pas être une condensation de Bose. Cependant, la superfluidité de l'hélium 3 peut être expliquée de manière analogue à la supraconductuvité des métaux par la formation de paires de Cooper entre les atomes d'hélium 3. Il existe dans l'hélium 3 deux phases superfluides décrites par les théories de Balian-Werthamer et d'Anderson-Brinkman-Morel.

source: wikipedia

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Teoría BCS I Contexto histórico I Resultados I La ecuación de la banda prohibida

Teoría BCS

Placa en la Universidad de Illinois, donde se conmemora el Premio Nobel recibido por John Bardeen gracias al desarrollo de la teoría BCS.

La Teoría BCS (que recibe su nombre de las iniciales de quienes la idearon: John Bardeen, Leon Cooper, y John Robert Schrieffer) fue propuesta en julio de 1957 intentando explicar el fenómeno de la superconductividad. En 1972 los tres recibieron el Premio Nobel de Física gracias a esta teoría.

Esta teoría está considerada como la teoría más importante en el campo de la superconductividad desde el punto de vista microscópico (es decir, tratando de explicar las propiedades de los superconductores a partir de primeros principios). Sin embargo, como se explica más abajo, gran parte de los superconductores siguen sin contar con una explicación satisfactoria.


Contexto histórico

Previamente a la aparición de la teoría BCS, en 1950, Vitaly Ginzburg y Lev Landau presentaron la teoría Ginzburg-Landau, que explicaba varios aspectos de la superconductividad. Sin embargo, las condiciones de la Guerra fría y la poca comunicación que conllevaba entre los miembros de la comunidad científica impidieron que esta teoría influyera sustancialmente el trabajo de Bardeen, Cooper y Schrieffer.

Tras la publicación de la teoría, en 1958, Nikolai Bogoliubov la reafirmó mostrando que la función de onda BCS, que en un principio había sido calculada variacionalmente, se podía obtener también mediante una transformación canónica del hamiltoniano electrónico. Un año más tarde Lev Gor'kov relacionó la teoría BCS con la de Ginzburg-Landau demostrando que esta última es un caso particular de la BCS para temperaturas próximas a la temperatura crítica. El artículo de Gor'kov, publicado en inglésy en ruso, fue a su vez una manera de conciliar ambas teorías a ambos lados del Telón de Acero.

Se considera que en 1964, durante la Conferencia Internacional sobre la Ciencia de la Superconductividad, se alcanzó cierto consenso entre los participantes acerca de la validez de la teoría BCS.

Fundamentos

La atracción de los electrones

La teoría se basa en el hecho de que los portadores de carga no son electrones sino parejas de electrones (conocidas como pares de Cooper). Los electrones habitualmente se repelen debido a que tienen igual carga. Sin embargo, cuando se hallan inmersos en una red cristalina (es decir, la microestructura del material) es posible que la energía entre ellos sea negativa (atractiva) en lugar de positiva (repulsiva), de manera que se creen parejas para minimizar la energía.

Es posible comprender el origen de la atracción entre los electrones gracias a un argumento cualitativo simple. En un metal, los electrones, al tener carga negativa, ejercen una atracción sobre los iones positivos que se encuentran en su vecindad. Estos iones al ser mucho más pesados que los electrones, tienen una inercia mucho mayor. Por esta razón, mientras que un electrón pasa cerca de un conjunto de iones positivos, estos iones no vuelven inmediatamente a su posición de equilibrio original. Ello resulta en un exceso de cargas positivas en el lugar por el que el electrón ha pasado. Un segundo electrón sentirá pues una fuerza atractiva resultado de este exceso de cargas positivas.

Formalmente se suele decir que los electrones interaccionan entre sí mediante fonones, siendo estos una especie de partícula imaginaria que representa la vibración de la red cristalina (generada en este caso por el paso de los electrones).

La banda prohibida superconductora

Ek es, en el marco de la teoría BCS, la diferencia de energía entre un sistema en que todos los electrones están en estado superconductor formando pares de Cooper (que sería el estado fundamental), y ese mismo sistema con un único electrón desapareado en el estado k (que es el primer estado excitado).

Esta especie de "energía de enlace" entre los dos electrones se suele llamar banda prohibida superconductora o, por contagio del inglés, gap superconductor, y se denota Δ. El concepto no está relacionado con la banda prohibida de los semiconductores, salvo en que se comporta de forma parecida.

En un conductor en estado normal (es decir, cuando no es superconductor), es posible excitar un electrón añadiéndole cualquier energía que queramos. Simplemente aumentaremos su energía cinética en igual proporción. Sin embargo, en el caso de un par de Cooper es distinto: si le aplicamos una energía inferior a 2Δ (el doble, debido a que la banda prohibida se toma como energía por electrón), no lograremos excitarlo dado que no romperemos el par. Si la energía es superior a 2Δ, entonces el par se rompe y la energía que le sobre se convierte en energía cinética de los electrones.

Resultados

Fenómenos previos que explica

Algunos de los hechos que son explicados con éxito por esta teoría, y que eran bien conocidos antes de 1957, son los siguientes:

  • La existencia de una temperatura crítica, por debajo de la cual el material pasa al estado superconductor.
  • La existencia de una discontinuidad en el calor específico al pasar al estado superconductor, con el hecho notable de que, independientemente del material, en el estado superconductor es 2.43 veces mayor que en el normal (para T = Tc).
  • El efecto Meissner, descubierto 24 años antes, y por el cual el campo magnético es expulsado del interior del material superconductor, dando lugar a efectos muy populares, como la levitación de imanes.
  • El efecto isotópico, descubierto 7 años antes, y según el cual T_c \propto 1/\sqrt A, es decir, para distintos isótopos de un elemento superconductor dado, la temperatura crítica es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número másico: cuanto más pesados son los iones positivos, más difícil es alcanzar el estado superconductor. Este efecto jugó un papel muy importante, porque indicó que el estado superconductor tenía algo que ver con la red cristalina, y no tanto con interacciones como el acoplamiento espín-órbita o el acoplamiento espín-espín.

Predicciones explicadas después experimentalmente

En abril de 1957 (tan sólo algunos meses antes de que la teoría BCS saliera a la luz) Richard Feynman, que por entonces se dedicaba al estudio de la superfluidez y la superconductividad, dijo:

No creo que nadie haya calculado nada en física del estado sólido antes de que apareciera el resultado experimental, ¡así que lo único que hemos hecho hasta ahora ha sido predecir lo que ya habíamos observado!
Richard FeynmanSuperfluidity and Superconductivity

Este pensamiento personal (olvidando la Teoría de la Relatividad General) revela la importancia histórica que tuvo la famosa predicción de la teoría BCS:

\frac{2\Delta(0)}{k_BT_C} = \frac{2\pi}{e^\gamma} \simeq 3.53

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni, aproximadamente 0.577).

Lo que dicho de otro modo, viene a significar que si un material tiene una temperatura crítica de 1 K, su banda prohibida será de alrededor de 0.0003 eV. Se realizaron varios experimentos para poner a prueba esta predicción, y se vio que efectivamente en la mayoría de los casos este cociente da un valor cercano a 3.5. La explicación de cómo se llega a este resultado se halla más abajo, en la sección de teoría.

Teoría

Tratamiento mecano-cuántico

Evidentemente, este argumento cualitativo se justifica por cálculos más rigurosos pues el comportamiento de los electrones y los iones deben describirse por medio de la mecánica cuántica. El tratamiento teórico completo utiliza los métodos de la segunda cuantización, y se basan en el hamiltoniano de Fröhlich:

H=\sum_{k,\sigma} \epsilon(k) c^\dagger_{k,\sigma} c_{k,\sigma} + \sum_q \hbar \omega_q b^\dagger_q b_q + \frac{1}{\sqrt{\omega}} \sum_{k,q,\sigma} g(k,q) [c^\dagger_{k+q,\sigma} b_q c_{k,\sigma} + c^\dagger_{k+q,\sigma} b^\dagger_{-q} c_{k,\sigma}]

donde ck,σ es un operador de aniquilación para un electrón de espín σ, y de momento k, bq es el operador de aniquilación de un fonón de momento q, c^\dagger_{k,\sigma} y b^\dagger_q son los operadores de creación correspondientes, y g(k,q) es el elemento de matriz de acoplamiento electrón-fonón. Este término describe la emisión o la absorción de fonones por los electrones. Notar que en este proceso, el momento se conserva.

Por medio de una transformación canónica, se puede eliminar la interacción electrón-fonón del hamiltoniano de Fröhlich para obtener una interacción efectiva entre los electrones. Una aproximación alternativa consiste en utilizar la teoría de perturbaciones de segundo orden en el acoplamiento electrón fonón. En esta aproximación un electrón emite un fonón virtual que es absorbido por otro electrón. Este proceso es la versión cuántica del argumento cualitativo semi-clásico explicado antes. Se encuentra un elemento de matriz para la interacción entre los electrones de la forma:

\langle k-q,k'+q\mid V_{eff.}\mid k,k'\rangle = \frac{2 \mid g(k,q)\mid^2 \hbar \omega_q}{(\epsilon(k)-\epsilon(k+q))^2-(\hbar\omega_q)^2}

Este término matricial es en general positivo, lo que corresponde a una interacción repulsiva, pero por \mid \epsilon(k)-\epsilon(k+q)\mid <\hbar \omega_q el término se hace negativo lo que corresponde a una interacción atractiva. Estas interacciones atractivas creadas por intercambio de bosones virtuales no se limitan a la física de la materia condensada pues la interacción atractiva entre nucleones en los núcleos atómicos se explica mediante el intercambio de mesones.

Superconductividad en el cero absoluto

Desde el punto de vista teórico, por sencillez, se suele estudiar en primer lugar cómo se comportan los superconductores cuando estamos en el cero absoluto, y en segundo lugar el caso más general, que es cómo se comporta el material a medida que aumentamos la temperatura hasta llegar a la temperatura crítica (y su paso al estado normal).

Así, es posible explicar la relación entre la superconductividad y el efecto isotópico mediante un desarrollo matemático por el cual se llega a:

\Delta = 2\hbar\omega_D\exp(-1/V_0N(0))

donde Δ es la banda prohibida y ωD es la frecuencia de Debye. De esta forma, puesto que V0N(0) es una constante que depende del material, vemos que la banda prohibida es proporcional a la energía de excitación \hbar\omega_D, y puesto que esta a su vez es proporcional a 1/\sqrt{M}, tenemos que la banda prohibida está relacionada con el efecto isotópico.

La ecuación de la banda prohibida

Para valores arbitrarios de la temperatura, siempre que esta esté entre 0 y la temperatura crítica, es posible llegar a un importante resultado que se conoce como ecuación de la banda prohibida:

\frac{1}{V} = \frac{1}{2}\sum_{k}\frac{\tanh{(\sqrt{\epsilon_k^2+\Delta^2(T)}/2k_BT)}}{\sqrt{\epsilon_k^2+\Delta^2(T)}}

Con esta ecuación, es posible explicar gran número de propiedades de los materiales superconductores, como por ejemplo la ya mencionada relación entre la banda prohibida y la temperatura crítica con un factor 3.53: para ello basta con tener en cuenta que según nos acercamos a la temperatura crítica, el valor de la banda prohibida tiende a cero, de modo que

\Delta(T) \rightarrow 0

de modo que

E_k = \sqrt{\epsilon_k^2+\Delta^2(T)} \rightarrow |\epsilon_k|

de esta forma, convirtiendo el sumatorio en una integral, nos quedará algo del tipo:

\frac{1}{VN(0)} = \int_0^{\hbar\omega_c/2k_BT_c} \frac{\tanh{\epsilon_k}}{\epsilon_k} \, d\epsilon_k

y resolviendo la integral nos quedará que

\hbar\omega_c/2k_BT_c = e^\gamma/\pi

de donde se puede llegar sin dificultad a la famosa relación ya mencionada.

Limitaciones

Aunque la teoría es notable en cuanto que fue la primera en arrojar luz en este campo, está lejos de ser la teoría definitiva. He aquí algunos ejemplos de ello:

No logra explicar todos los superconductores

Esta teoría explicó bien el comportamiento de ciertos superconductores, conocidos como superconductores convencionales (la mayoría de los cuales son superconductores de tipo I, como el aluminio, el plomo o el mercurio), pero fallaba a la hora de predecir resultados experimentales para los llamados superconductores no convencionales (que suelen ser sustancias más complejas, como aleaciones, cerámicas o fulerenos).

No obstante, hay otra teoría, la teoría Ginzburg-Landau que es de gran ayuda en el estudio de los superconductores no convencionales desde el punto de vista macroscópico (es decir, renunciando a explicar las propiedades rigurosamente a partir de la ecuación de Schrödinger).

Entre estos superconductores no convencionales se encuentran los superconductores de alta temperatura (aquellos que pueden encontrarse en estado superconductor por encima de 77 K), los cuales son famosos porque a día de hoy aún no se ha encontrado una explicación satisfactoria de sus propiedades.

No logra predecir qué materiales serán superconductores

Aun conociendo las propiedades de un material a temperaturas elevadas, la teoría tampoco consigue predecir si éste alcanzará el estado superconductor o no, puesto que se da por sentado que la superconductividad está asociada a la interacción electrón-fonón. Partiendo de esta idea, se supone que una sustancia debería tener más probablididades de ser superconductora a temperaturas relativamente elevadas en los siguientes casos:

  • interacción electrón-fonón elevada
  • densidad de estados electrónica elevada
  • iones de poca masa
Sin embargo, en la práctica, se ha visto que la correlación es muy débil al medir estas propiedades frente al hecho de que la muestra sea superconductora.

source: wikipedia
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BCS theory I History I Overview I More details

BCS theory

BCS theory is the first microscopic theory of superconductivity, proposed by Bardeen, Cooper, and Schrieffer in 1957 since the discovery of superconductivity in 1911. It describes superconductivity as a microscopic effect caused by a condensation of pairs of electrons into a boson-like state.

History

The mid 1950s saw rapid progress in the understanding of superconductivity. It began in the 1948 paper On the Problem of the Molecular Theory of Superconductivity where Fritz London proposed that the phenomonological London equations may be consequences of the coherence of a quantum state. In 1953 Brian Pippard, motivated by penetration experiments, proposed that this would modify the London equations via a new scale parameter called the coherence length. John Bardeen then argued in the 1955 paper Theory of the Meissner Effect in Superconductors that such a modification naturally occurs in a theory with an energy gap. The key ingredient was Leon Neil Cooper's calculation of the bound states of electrons subject to an attractive force in his 1956 paper Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas.

In 1957 Bardeen and Cooper assembled these ingredients and constructed such a theory, the BCS theory, with Robert Schrieffer. The theory was first announced in February 1957 in the letter Microscopic theory of superconductivity. The demonstration that the phase transition is second order, that it reproduces the Meissner effect and the calculations of specific heats and penetration depths appeared in the July 1957 article Theory of superconductivity. They received the Nobel Prize in Physics in 1972 for this theory. The 1950 Landau-Ginzburg theory of superconductivity is not cited in either of the BCS papers.

In 1986, "high-temperature superconductivity" was discovered (i.e. superconductivity at temperatures considerably above the previous limit of about 30 K; up to about 130 K). It is believed that at these temperatures other effects are at play; these effects are not yet fully understood. (It is possible that these unknown effects also control superconductivity even at low temperatures for some materials).

Overview

At sufficiently low temperatures, electrons near the Fermi surface become unstable against the formation of Cooper pairs. Cooper showed such binding will occur in the presence of an attractive potential, no matter how weak. In conventional superconductors, an attraction is generally attributed to an electron-lattice interaction. The BCS theory, however, requires only that the potential be attractive, regardless of its origin. In the BCS framework, superconductivity is a macroscopic effect which results from "condensation" of Cooper pairs. These have some bosonic properties, while bosons, at sufficiently low temperature, can form a large Bose-Einstein condensate. Superconductivity was simultaneously explained by Nikolay Bogoliubov, by means of the so-called Bogoliubov transformations.

In many superconductors, the attractive interaction between electrons (necessary for pairing) is brought about indirectly by the interaction between the electrons and the vibrating crystal lattice (the phonons). Roughly speaking the picture is the following:

An electron moving through a conductor will attract nearby positive charges in the lattice. This deformation of the lattice causes another electron, with opposite "spin", to move into the region of higher positive charge density. The two electrons are then held together with a certain binding energy. If this binding energy is higher than the energy provided by kicks from oscillating atoms in the conductor (which is true at low temperatures), then the electron pair will stick together and resist all kicks, thus not experiencing resistance.

More details

BCS theory starts from the assumption that there is some attraction between electrons, which can overcome the Coulomb repulsion. In most materials (in low temperature superconductors), this attraction is brought about indirectly by the coupling of electrons to the crystal lattice (as explained above). However, the results of BCS theory do not depend on the origin of the attractive interaction. The original results of BCS (discussed below) described an "s-wave" superconducting state, which is the rule among low-temperature superconductors but is not realized in many "unconventional superconductors", such as the "d-wave" high-temperature superconductors. Extensions of BCS theory exist to describe these other cases, although they are insufficient to completely describe the observed features of high-temperature superconductivity.

BCS is able to give an approximation for the quantum-mechanical many-body state of the system of (attractively interacting) electrons inside the metal. This state is now known as the "BCS state". In the normal state of a metal, electrons move independently, whereas in the BCS state, they are bound into "Cooper pairs" by the attractive interaction. The BCS formalism is based on the "reduced" potential for the electrons attraction. Within this potential, a variational ansatz for the wave function is proposed. This ansatz was later shown to be exact in the dense limit of pairs. Note that the continous crossover between the dilute and dense regimes of attracting pairs of fermions is still an open problem, which now attracts a lot of attention within the field of ultracold gases.

Successes of the BCS theory

BCS derived several important theoretical predictions that are independent of the details of the interaction, since the quantitative predictions mentioned below hold for any sufficiently weak attraction between the electrons and this last condition is fulfilled for many low temperature superconductors - the so-called "weak-coupling case". These have been confirmed in numerous experiments:

  • The electrons are bound into Cooper pairs, and these pairs are correlated due to the Pauli exclusion principle for the electrons, from which they are constructed. Therefore, in order to break a pair, one has to change energies of all other pairs. This means there is an "energy gap" for "single-particle excitation", unlike in the normal metal (where the state of an electron can be changed by adding an arbitrarily small amount of energy). This energy gap is highest at low temperatures but vanishes at the transition temperature when superconductivity ceases to exist. The BCS theory gives an expression that shows how the gap grows with the strength of the attractive interaction and the (normal phase) single particle density of states at the Fermi energy. Furthermore, it describes how the density of states is changed on entering the superconducting state, where there are no electronic states any more at the Fermi energy. The energy gap is most directly observed in tunneling experiments and in reflection of microwaves from the superconductor.
  • BCS theory predicts the dependence of the value of the energy gap E at temperature T on the critical temperature Tc. The ratio between the value of the energy gap at zero temperature and the value of the superconducting transition temperature (expressed in energy units) takes the universal value of 3.5, independent of material. Near the critical temperature the relation asymptotes to
E=3.2kT_c\sqrt{1-(T/T_c)}

which is of the form suggested the previous year by M. J. Buckingham in Very High Frequency Absorption in Superconductors based on the fact that the superconducting phase transition is second order, that the superconducting phase has a mass gap and on Blevins, Gordy and Fairbank's experimental results the previous year on the absorption of millimeter waves by superconducting tin.

  • Due to the energy gap, the specific heat of the superconductor is suppressed strongly (exponentially) at low temperatures, there being no thermal excitations left. However, before reaching the transition temperature, the specific heat of the superconductor becomes even higher than that of the normal conductor (measured immediately above the transition) and the ratio of these two values is found to be universally given by 2.5.
  • It also describes the variation of the critical magnetic field (above which the superconductor can no longer expel the field but becomes normal conducting) with temperature. BCS theory relates the value of the critical field at zero temperature to the value of the transition temperature and the density of states at the Fermi energy.
  • In its simplest form, BCS gives the superconducting transition temperature in terms of the electron-phonon coupling potential and the Debye cutoff energy:
k_B\,T_c = 1.14E_D\,{e^{-1/N(0)\,V}}.\,
  • The BCS theory reproduces the isotope effect, which is the experimental observation that for a given superconducting material, the critical temperature is inversely proportional to the mass of the isotope used in the material. The isotope effect was reported by two groups on the 24th of March 1950, who discovered it independently working with different mercury isotopes, although a few days before publication they learned of each other's results at the ONR conference in Atlanta, Georgia. The two groups are Emanuel Maxwell, who published his results in Isotope Effect in the Superconductivity of Mercury and C. A. Reynolds, B. Serin, W. H. Wright, and L. B. Nesbitt who published their results 10 pages later in Superconductivity of Isotopes of Mercury. The choice of isotope ordinarily has little effect on the electrical properties of a material, but does affect the frequency of lattice vibrations, this effect suggested that superconductivity be related to vibrations of the lattice. This is incorporated into the BCS theory, where lattice vibrations yield the binding energy of electrons in a Cooper pair.
source: wikipedia
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Jumat, 16 Oktober 2009

SMES

SMES

Le SMES désigne Superconducting Magnetic Energy Storage (Stockage d'énergie magnétique supraconductrice). Ce système permet de stocker de l'énergie sous la forme d'un champ magnétique créé par la circulation d'un courant continu dans un anneau supraconducteur qui a été refroidi à une température en dessous de sa température critique.

Un système SMES typique comprend trois parties : une bobine supraconductrice, un système de refroidissement et une réfrigération cryogénique. Une fois que la bobine supraconductrice est chargée, le courant ne va pas diminuer et l’énergie magnétique peut être stockée indéfiniment.

L’énergie stockée peut être délivrée au réseau en déchargeant l’anneau. Le système de refroidissement utilise un onduleur/redresseur pour transformer le courant alternatif en courant continu ou convertir le continu en alternatif. L’onduleur/redresseur génère 2 à 3% des pertes d’énergie. Les pertes du SMES sont les plus faibles comparés à d’autres techniques de stockage. Les systèmes SMES sont très efficaces.

En raison de l’énergie requise pour la réfrigération et le coût des matériaux supraconducteurs, le SMES est utilisé pour un stockage court. En France, les plus gros prototypes (plusieurs centaines de kJ) ont été réalisés à Grenoble, au département MCBT de l'Institut Néel avec l'aide de partenaires comme la DGA et Nexans. L'application visée est l'alimentation d'un canon électromagnétique à des fins militaires ou civils.

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Superconducting Magnetic Energy Storage I Estructura y funcionamiento I Aplicaciones

Superconducting Magnetic Energy Storage

SMES (Almacenamiento de energía magnética por superconducción)

El almacenamiento de energía magnética por superconducción (en inglés Superconducting Magnetic Energy Storage o SMES) designa un sistema de almacenamiento de energía que permite almacenar ésta bajo la forma de un campo magnético creado por la circulación de una corriente continua en un anillo superconductor que está refrigerado a una temperatura por debajo de la temperatura crítica de superconductividad.

Estructura y funcionamiento

Un sistema SMES típico tiene tres componentes:

  • Una bobina superconductora.
  • Un sistema de electrónica de potencia.
  • Un sistema de refrigeración criogénico.

Una vez que la bobina superconductora se carga, la corriente ya no disminuye y la energía magnética puede almacenarse indefinidamente. La energía almacenada puede ser entregada a la red descargando al anillo. Para extraer la energía se interrumpe la corriente que circula por la bobina abriendo y cerrando repetidamente un conmutador de estado sólido del sistema de electrónica de potencia. Debido a su alta inductancia, la bobina se comporta como una fuente de corriente que puede utilizarse para cargar un condensador que proporciona una entrada de tensión continua a un inversor que produce la tensión alterna requerida. El sistema de potencia origina del 2% al 3% de pérdidas de energía. Sin embargo los SMES son muy eficientes, pues sus pérdidas son muy bajas comparadas con las de otros sistemas de almacenamiento de energía.

Aplicaciones

Debido a la energía absorbida por el sistema de refrigeración y a los costes de los materiales superconductores, los SMES se utilizan para el almacenamiento de energía de corta duración, siendo su aplicación más común la mejora de la calidad de onda en las redes públicas de distribución de electricidad, típicamente la neutralización de los huecos de tensión y los microcortes.

source: wikipedia

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Supraleitender Magnetischer Energiespeicher I Berechnung der gespeicherten Energie

Supraleitender Magnetischer Energiespeicher

Supraleitende Magnetische Energiespeicher (SMES) speichern Energie in einem durch Gleichstrom in einer supraleitenden Spule erzeugten Magnetfeld. Die Spule wird mittels Kryotechnik mit flüssigem Helium unter der Sprungtemperatur auf 4,3 Kelvin (= -269 °C) gekühlt.

Ein typischer SMES besteht aus einer supraleitenden Spule, einer Kühlung und einem Energieaufbereitungssystem. Wenn die supraleitende Spule einmal geladen ist, nimmt der Strom nicht ab und die magnetische Energie kann über längere Zeit gespeichert werden.

Die gespeicherte Energie kann wieder ins Netzwerk zurückgespeist werden, indem die Spule entladen wird. Das Energieaufbereitungssystem benutzt einen Wechselrichter/Gleichrichter, um den Wechselstrom in Gleichstrom, welcher im SMES gespeichert werden kann, und zurück in Wechselstrom umzuwandeln. Dabei kann je Wandelvorgang etwa 2 bis 3 % der Energie in Form von Wärmeabgabe nicht genutzt werden. SMES sind vergleichsweise effizient; beim Speichern selbst geht kaum Energie verloren.

Allerdings ist der Energieaufwand für die Kühlung hoch und durch die hohen Kosten von Supraleitern werden SMES im Jahre 2009 vor allem zur kurzzeitigen Speicherung von Energie verwendet.


Vergleich mit anderen Methoden zur Energiespeicherung

Der wohl wichtigste Vorteil von SMES ist die kurze Verzögerung beim Laden und Entladen. Die Energie ist sofort verfügbar und es kann eine hohe Leistung in einer kurzen Zeit bereitgestellt werden. Andere Methoden zur Energiespeicherung, wie zum Beispiel die Pumpspeicherwerke haben eine wesentlich größere Verzögerung von einigen Minuten, da die Energie von mechanischer in elektrische Energie umgewandelt werden muss. Weitere Vorteile sind, dass der Energieverlust extrem klein ist und dass sie sehr zuverlässig sind, da die wesentlichen Teile des SMES unbeweglich sind. Nachteilig sind der hohe Aufwand an Leistungselektronik und Notwendigkeit der ständigen Kühlung auf extrem tiefe Temperaturen.

Berechnung der gespeicherten Energie

Um die in einem SMES gespeicherte Energie zu berechnen, multipliziert man die Hälfte der Induktivität mit dem Quadrat der Stromstärke.

E=\frac {1}{2}\cdot L\cdot I^2

Wobei

E = Energie in Joule
L = Induktivität in Henry
I = Stromstärke in Ampere

Praktischer Einsatz

Schneller Kompensator im Sägewerk

Der erste SMES in Europa wurde vom Forschungszentrum Karlsruhe und von der Universität Karlsruhe gemeinsam entwickelt und in einem Sägewerk in Fischweier/Albtal am Niederspannungsnetz des Badenwerks eingesetzt. Es hat eine Speicherkapazität von maximal 200 Kilojoule (kJ) und eine Leistung von 80 kVA. Der SMES besteht aus 6 Magnetmodulen die als Solenoid zusammengesetzt sind. Jedes Magnetmodul enthält 1000 Windungen des 1,3 mm dicken NbTi-Supraleiters und hat einen Durchmesser von 36 cm. Damit erreicht der Gesamtaufbau eine Induktivität von 4,37 H und kommt mit einem Strom von 300 A aus, um die geforderte Energie zu speichern. Die Energiedichte beträgt etwa 150 kJ/m³.


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Superconducting magnetic energy storage I Advantages over other energy storage methods I Current use I Calculation of stored energy

Superconducting Magnetic Energy Storage (SMES) systems store energy in the magnetic field created by the flow of direct current in a superconducting coil which has been cryogenically cooled to a temperature below its superconducting critical temperature.

A typical SMES system includes three parts: superconducting coil, power conditioning system and cryogenically cooled refrigerator. Once the superconducting coil is charged, the current will not decay and the magnetic energy can be stored indefinitely.

The stored energy can be released back to the network by discharging the coil. The power conditioning system uses an inverter/rectifier to transform alternating current (AC) power to direct current or convert DC back to AC power. The inverter/rectifier accounts for about 2-3% energy loss in each direction. SMES loses the least amount of electricity in the energy storage process compared to other methods of storing energy. SMES systems are highly efficient; the round-trip efficiency is greater than 95%.[1]

Due to the energy requirements of refrigeration and the high cost of superconducting wire, SMES is currently used for short duration energy storage. Therefore, SMES is most commonly devoted to improving power quality. If SMES were to be used for utilities it would be a diurnal storage device, charged from baseload power at night and meeting peak loads during the day[citation needed].

Advantages over other energy storage methods

There are several reasons for using superconducting magnetic energy storage instead of other energy storage methods. The most important advantages of SMES is that the time delay during charge and discharge is quite short. Power is available almost instantaneously and very high power output can be provided for a brief period of time. Other energy storage methods, such as pumped hydro or compressed air have a substantial time delay associated with the energy conversion of stored mechanical energy back into electricity. Thus if a customer's demand is immediate, SMES is a viable option. Another advantage is that the loss of power is less than other storage methods because electric currents encounter almost no resistance. Additionally the main parts in a SMES are motionless, which results in high reliability.

Current use

There are several small SMES units available for commercial use and several larger test bed projects. Several 1 MW units are used for power quality control in installations around the world, especially to provide power quality at manufacturing plants requiring ultra-clean power, such as microchip fabrication facilities.

These facilities have also been used to provide grid stability in distribution systems. SMES is also used in utility applications. In northern Wisconsin, a string of distributed SMES units was deployed to enhance stability of a transmission loop. The transmission line is subject to large, sudden load changes due to the operation of a paper mill, with the potential for uncontrolled fluctuations and voltage collapse. Developers of such devices include American Superconductor.

The Engineering Test Model is a large SMES with a capacity of approximately 20 MW·h, capable of providing 400 MW of power for 100 seconds or 10 MW of power for 2 hours.

Calculation of stored energy

The magnetic energy stored by a coil carrying a current is given by one half of the inductance of the coil times the square of the current.

E=\frac {1}{2}\cdot L\cdot I^2

Where

E = energy measured in joules
L = inductance measured in henries
I = current measured in amperes

Now let’s consider a cylindrical coil with conductors of a rectangular cross section. The mean radius of coil is R. a and b are width and depth of the conductor. f is called form function which is different for different shapes of coil. ξ (xi) and δ (delta) are two parameters to characterize the dimensions of the coil. We can therefore write the magnetic energy stored in such a cylindrical coil as shown below. This energy is a function of coil dimensions, number of turns and carrying current.

E=\frac {1}{2}\cdot f \left ( \xi, \delta \right ) \cdot R\cdot N^2\cdot I^2

Where

E = energy measured in joules
I = current measured in amperes
f(ξ,δ) = form function, joules per ampere-meter
N = number of turns of coil

Solenoid versus toroid

Besides the properties of the wire, the configuration of the coil itself is an important issue from a mechanical engineering aspect. There are three factors which affect the design and the shape of the coil - they are: Inferior strain tolerance, thermal contraction upon cooling and lorentz forces in a charged coil. Among them, the strain tolerance is crucial not because of any electrical effect, but because it determines how much structural material is needed to keep the SMES from breaking.[citation needed] For small SMES systems, the optimistic value of 0.3% strain tolerance is selected. Toroidal geometry can help to lessen the external magnetic forces and therefore reduces the size of mechanical support needed. Also, due to the low external magnetic field, toroidal SMES can be located near a utility or customer load.

For small SMES, solenoids are usually used because they are easy to coil and no pre-compression is needed. In toroidal SMES, the coil is always under compression by the outer hoops and two disks, one of which is on the top and the other is on the bottom to avoid breakage. Currently, there is little need for toroidal geometry for small SMES, but as the size increases, mechanical forces become more important and the toroidal coil is needed.

The older large SMES concepts usually featured a low aspect ratio solenoid approximately 100 m in diameter buried in earth. At the low extreme of size is the concept of micro-SMES solenoids, for energy storage range near 1 MJ.

Low-temperature versus high-temperature superconductors

Under steady state conditions and in the superconducting state, the coil resistance is negligible. However, the refrigerator necessary to keep the superconductor cool requires electric power and this refrigeration energy must be considered when evaluating the efficiency of SMES as an energy storage device.

Although the high-temperature superconductor (HTSC) has higher critical temperature, flux lattice melting takes place in moderate magnetic fields around a temperature lower than this critical temperature. The heat loads that must be removed by the cooling system include conduction through the support system, radiation from warmer to colder surfaces, AC losses in the conductor( during charge and discharge), and losses from the cold–to-warm power leads that connect the cold coil to the power conditioning system. Conduction and radiation losses are minimized by proper design of thermal surfaces. Lead losses can be minimized by good design of the leads. AC losses depend on the design of the conductor, the duty cycle of the device and the power rating.

The refrigeration requirements for HTSC and low-temperature superconductor (LTSC) toroidal coils for the baseline temperatures of 77 K, 20 K and 4.2 K, increases in that order. The refrigeration requirements here is defined as electrical power to operate the refrigeration system. As the stored energy increases by a factor of 100, refrigeration cost only goes up by a factor of 20. Also, the savings in refrigeration for an HTSC system is larger (by 60% to 70%) than for an LTSC systems.

Cost

Whether HTSC or LTSC systems are more economical depends because there are other major components determining the cost of SMES: Conductor consisting of superconductor and copper stabilizer and cold support are major costs in themselves. They must be judged with the overall efficiency and cost of the device. Other components, such as vacuum vessel insulation, has been shown to be a small part compared to the large coil cost. The combined costs of conductors, structure and refrigerator for toroidal coils are dominated by the cost of the superconductor. The same trend is true for solenoid coils. HTSC coils cost more than LTSC coils by a factor of 2 to 4. We expect to see a cheaper cost for HTSC due to lower refrigeration requirements but this is not the case. So, why is the HTSC system more expensive?

To gain some insight consider a breakdown by major components of both HTSC and LTSC coils corresponding to three typical stored energy levels, 2, 20 and 200 MW·h. The conductor cost dominates the three costs for all HTSC cases and is particularly important at small sizes. The principal reason lies in the comparative current density of LTSC and HTSC materials. The critical current (Jc) of HTSC wire is lower than LTSC wire generally in the operating magnetic field, about 5 to 10 teslas (T). Assume the wire costs are the same by weight. Because HTSC wire has lower (Jc) value than LTSC wire, it will take much more wire to create the same inductance. Therefore, the cost of wire is much higher than LTSC wire. Also, as the SMES size goes up from 2 to 20 to 200 MWh, the LTSC conductor cost also goes up about a factor of 10 at each step. The HTSC conductor cost rises a little slower but is still by far the costliest item.

The structure costs of either HTSC or LTSC go up uniformly (a factor of 10) with each step from 2 to 20 to 200 MW·h. But HTSC structure cost is higher because the strain tolerance of the HTSC (ceramics cannot carry much tensile load) is less than LTSC, such as Nb3Ti or Nb3Sn, which demands more structure materials. Thus, in the very large cases, the HTSC cost can not be offset by simply reducing the coil size at a higher magnetic field.

It is worth noting here that the refrigerator cost in all cases is so small that there is very little percentage savings associated with reduced refrigeration demands at high temperature. This means that if a HTSC, BSCCO for instance, works better at a low temperature, say 20K, it will certainly be operated there. For very small SMES, the reduced refrigerator cost will have a more significant positive impact.

Clearly, the volume of superconducting coils increases with the stored energy. Also, we can see that the LTSC torus maximum diameter is always smaller for a HTSC magnet than LTSC due to higher magnetic field operation. In the case of solenoid coils, the height or length is also smaller for HTSC coils, but still much higher than in a toroidal geometry (due to low external magnetic field).

An increase in peak magnetic field yields a reduction in both volume (higher energy density) and cost (reduced conductor length). Smaller volume means higher energy density and cost is reduced due to the decrease of the conductor length. There is an optimum value of the peak magnetic field, about 7 T in this case. If the field is increased past the optimum, further volume reductions are possible with minimal increase in cost. The limit to which the field can be increased is usually not economic but physical and it relates to the impossibility of bringing the inner legs of the toroid any closer together and still leave room for the bucking cylinder.

The superconductor material is a key issue for SMES. Superconductor development efforts focus on increasing Jc and strain range and on reducing the wire manufacturing cost

Technical challenges

The energy content of current SMES systems is usually quite small. Methods to increase the energy stored in SMES often resort to large-scale storage units. As with other superconducting applications, cryogenics are a necessity. A robust mechanical structure is usually required to contain the very large Lorentz forces generated by and on the magnet coils. The dominant cost for SMES is the superconductor, followed by the cooling system and the rest of the mechanical structure.

  • Size - To achieve commercially useful levels of storage, around 1 GW·h (3.6 TJ), a SMES installation would need a loop of around 100 miles (160 km). This is traditionally pictured as a circle, though in practice it could be more like a rounded rectangle. In either case it would require access to a significant amount of land to house the installation, and to contain the health effects noted below.
  • Manufacturing - There are two manufacturing issues around SMES. The first is the fabrication of bulk cable suitable to carry the current. Most of the superconducting materials found to date are relatively delicate ceramics, making it difficult to use established techniques to draw extended lengths of superconducting wire. Much research has focussed on layer deposit techniques, applying a thin film of material onto a stable substrate, but this is currently only suitable for small-scale electrical circuits.
  • Infrastructure - The second problem is the infrastructure required for an installation. Until room-temperature superconductors are found, the 100 mile (160 km) loop of wire would have to be contained within a vacuum flask of liquid nitrogen. This in turn would require stable support, most commonly envisioned by burying the installation.
  • Critical current - In general power systems look to maximize the current they are able to handle. This makes any losses due to inefficiences in the system relatively insignificant. Unfortunately the superconducting properties of most materials break down as current increases, at a level known as the critical current. Current materials struggle, therefore, to carry sufficient current to make a commercial storage facility economically viable.
  • Critical magnetic field - Related to critical current, there is a similar limitation to superconductivity linked to the magnetic field induced in the wire, and this too is a factor at commercial storage levels
  • Possible Adverse Health effects - The biggest concern with SMES, beyond possible accidents such as a break in the containment of liquid nitrogen, is the very large magnetic fields that would be created by a commercial installation, which would dwarf the magnetic field of the Earth. Little is known about the long term effects of exposure to such fields, so any installation is likely to require a significant buffer zone around and above it to protect humans and wildlife.

Other Applications

Quite a bit of research is currently being conducted in order to exploit superconducting materials for energy systems

  • HTS Power Transmission Cables
Requires simple Liquid nitrogen cooling that is cheap and easy to produce
HTS cables can increase capacity without increasing the environmental footprint
  • HTS Motors
Smaller than conventional motors which reduces friction, windage, and losses in the armature material
Higher efficiency (~ half the loss of conventional motors of the same rating)
  • Generators
Convert mechanical energy into electrical energy more efficiently
Greater weight and volume economy than other methods
Can generate power at transmission voltages, which eliminates the need for transformers at generating stations

Current Lack of Representation in Industry

  • 3 Issues at the onset of the technology have hindered its proliferation
(1)As current is passed through a superconductor the superconductivity was destroyed by the created magnetic field before appreciable values for a utility application could be reached.
(2)Expensive refrigeration units and high power cost to maintain operating temperatures
(3)Existence and continued development of adequate technologies using normal conductors

These still pose problems for superconducting applications but are improving over time. Advances have been made in the performance of superconducting materials. Furthermore,the reliability and efficiency of refrigeration systems has improved significantly to the point that some devices are now able to operate on electrical power systems.

source: wikipedia

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